“El juego del fin del mundo”

Como os comentamos en el post anterior, hoy os dejamos otro juego matemático para el desarrollo de la inteligencia lógico - matemática de manera lúdica: la Torre de Hanoi.

LA Torre de Hanoi : “El juego del fin del mundo”

Es un juego matemático que consiste en tres varillas verticales en las que se encuentran un número indeterminado de discos que determinarán la complejidad de la solución final.

Todos los discos son diferentes (no hay dos iguales) y van colocados ascendentemente, de mayor a menor, en la primera varilla (nunca se puede colocar un anillo mayor  o más grande sobre otro inferior o más pequeño).

El juego consiste en pasar todos los discos a la tercera varilla, colocados de la misma manera en que se inicia: de mayor a menor, ascendentemente.

Acerca de este jugo hay una leyenda que dice: “Al crear el mundo, Dios colocó tres varillas de diamante con 64 discos en la primera. También creó un monasterio de monjes y los mandó a resolver la Torre de Hanoi Divina . El día que estos monjes logren terminar el juego, el mundo acabará”. Sin embargo, las investigaciones han determinado que esta leyenda fue un invento publicitario del creador del juego, el matemático francés del siglo XVIII  Édouard Lucas que en aquella época se ganaba la vida vendiendo sus juegos matemáticos (lo cual era muy común en esa época).

 

 

 ¿Cómo se resuelve LA Torre de Hanoi?

Para resolver una Torre de Hanoi debemos tener en cuenta que,  el número mínimo de movimientos depende  siempre del número de discos iniciales. Por lo tanto, si tenemos “n” discos iniciales, los movimientos mínimos necesarios para terminar el juego serían:

Ejemplo:   La leyenda de los monjes y el fin del mundo

Si la leyenda de los monjes fuera cierta, ¿cuándo acabaría el mundo?.  Veamos:

Si los monjes tenían  inicialmente 64 discos, como cuenta la leyenda,  necesitarían realizar un mínimo de  585 mil millones de movimientos para terminar la torre (fin del juego). Por lo tanto, el fin del mundo llegaría en 585 mil millones de años.

¿Cómo se resuelve iterativamente LA Torre de Hanoi?

Para obtener la solución más corta, es necesario mover el disco más pequeño en todos los pasos impares, mientras que en los pasos pares sólo existe un movimiento posible que no lo incluye.

El problema se reduce a decidir a cuál de las dos pilas posibles se desplazará el disco pequeño (B o C), en cada paso impar.

  

Todo va a depender del número de discos iniciales que tengamos.

Cuando el número inicial de discos es impar:   

 

• El primer movimiento debe ser “colocar el disco más pequeño en la torre C” (pila destino). 
• En cada paso impar se le mueve  a la siguiente fila a su izquierda o a la pila destino (si está en la pila de origen). 
• La secuencia debe ser: destino, auxiliar, origen y, se repite, destino, auxiliar, origen.  

Ejemplo:

Si jugamos con 3 discos, el número mínimo de movimientos para completar el juego serían 7. 

Ahora comprobamos:

Llevamos las 3 fichas de la varilla “origen” a la varilla destino, empleando sólo 7 movimientos y siguiendo la secuencia de movimientos: destino, auxiliar, origen … destino, auxiliar, origen  (sucesivamente).

Cuando el número inicial de discos es par:   

• El primer movimiento debe ser “colocar el disco más pequeño en la torre B” (pila auxiliar). 
• En cada paso impar se le mueve  a la siguiente fila a su derecha o a la pila origen (si está en la pila de destino). 
• La secuencia debe ser: auxiliar, destino, origen y, se repite, auxiliar, destino, origen.

Ejemplo:

Si jugamos con 4 discos, el número mínimo de movimientos para completar el juego serían 15.

Ahora comprobamos:

Llevamos las 4 fichas de la varilla “origen” a la varilla destino, empleando sólo 15 movimientos y siguiendo la secuencia de movimientos: auxiliar, destino, origen … auxiliar, destino, origen  (sucesivamente)

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Iteración: Una operación iterativa es la que repite un proceso durante un número determinado de veces (iteraciones), dependiendo de los parámetros definidos inicialmente. Normalmente la salida de una iteración del proceso se utiliza como punto de inicio para la siguiente iteración. Cada paso origina el paso siguiente. El proceso continúa hasta que se alcanza una meta determinada y el proceso termina.